數(shù)學(xué)白癡的暴擊：世界十大數(shù)學(xué)難題

　　7、BSD猜想
　　BSD猜想，全稱(chēng)貝赫和斯維納通-戴爾猜想（BirchandSwinnerton-Dyer猜想），它描述了阿貝爾簇的算術(shù)性質(zhì)與解析性質(zhì)之間的聯(lián)系。

　　猜想陳述：
　　給定一個(gè)整體域上的阿貝爾簇，猜想它的莫代爾群的秩等于它的L函數(shù)在1處的零點(diǎn)階數(shù)，且它的L函數(shù)在1處的泰勒展開(kāi)的首項(xiàng)系數(shù)與莫代爾群的有限部分大小、自由部分體積、所有素位的周期以及沙群有精確的等式關(guān)系。

　　前半部分通常稱(chēng)為弱BSD猜想。BSD猜想是分圓域的類(lèi)數(shù)公式的推廣。格羅斯提出了一個(gè)細(xì)化的BSD猜想。布洛克和加藤提出了更一般的對(duì)于motif的Bloch-Kato猜想。

　　已知結(jié)果：
　　BSD猜想的陳述依賴(lài)于莫代爾定理：整體域上的阿貝爾簇的有理點(diǎn)形成一個(gè)有限生成交換群。精確的部分依賴(lài)于沙群的有限性猜想。

　　對(duì)于解析秩為0的情形，Coates，Wiles，Kolyvagin，Rubin，Skinner，Urban等人證明了弱BSD猜想，并且精確的BSD猜想在2以外均成立。

　　對(duì)于解析秩為1的情形，Gross，Zagier等人證明了弱BSD猜想，并且精確的BSD猜想在2和導(dǎo)子以外均成立。

　　猜想的推論：
　　由BSD猜想可以推出奇偶性猜想、西爾維斯特等很多猜想。其中最著名的是與同余數(shù)問(wèn)題的關(guān)系，從BSD猜想可以推出模8余5，6，7的平方自由的正整數(shù)一定可以成為某個(gè)有理邊長(zhǎng)直角三角形的面積。

　　數(shù)學(xué)家總是被諸如那樣的代數(shù)方程的所有整數(shù)解的刻畫(huà)問(wèn)題著迷。歐幾里德曾經(jīng)對(duì)這一方程給出完全的解答，但是對(duì)于更為復(fù)雜的方程，這就變得極為困難。事實(shí)上，正如馬蒂雅謝維奇指出，希爾伯特第十問(wèn)題是不可解的，即，不存在一般的方法來(lái)確定這樣的方程是否有一個(gè)整數(shù)解。

　　當(dāng)解是一個(gè)阿貝爾簇的點(diǎn)時(shí)，貝赫和斯維訥通－戴爾猜想認(rèn)為，有理點(diǎn)的群的大小與一個(gè)有關(guān)的蔡塔函數(shù)z(s)在點(diǎn)s=1附近的性態(tài)。特別是，這個(gè)有趣的猜想認(rèn)為，如果z(1)等于0，那么存在無(wú)限多個(gè)有理點(diǎn)(解)。相反，如果z(1)不等于0。那么只存在著有限多個(gè)這樣的點(diǎn)。

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