數(shù)學白癡的暴擊：世界十大數(shù)學難題

　　3、龐加萊猜想
　　龐加萊猜想（Poincaréconjecture）是法國數(shù)學家龐加萊提出的一個猜想，是克雷數(shù)學研究所懸賞的七個千禧年大獎難題。其中三維的情形被俄羅斯數(shù)學家格里戈里·佩雷爾曼于2003年左右證明。

　　2006年，數(shù)學界最終確認佩雷爾曼的證明解決了龐加萊猜想。龐加萊猜想是一個拓撲學中帶有基本意義的命題，將有助于人類更好地研究三維空間，其帶來的結果將會加深人們對流形性質(zhì)的認識。

　　陳述：
　　1904年，法國數(shù)學家亨利·龐加萊提出了一個拓撲學的猜想：
　　“任何一個單連通的，閉的三維流形一定同胚于一個三維的球面?！?/p>

　　簡單的說，一個閉的三維流形就是一個沒有邊界的三維空間；單連通就是這個空間中每條封閉的曲線都可以連續(xù)的收縮成一點，或者說在一個封閉的三維空間，假如每條封閉的曲線都能收縮成一點，這個空間就一定是一個三維圓球。

　　后來，這個猜想被推廣至三維以上空間，被稱為“高維龐加萊猜想”。

　　猜想比喻：
　　如果你認為這個說法太抽象的話，我們不妨做這樣一個想象：
　　我們想象這樣一個房子，這個空間是一個球?；蛘撸胂笠恢痪薮蟮淖闱?，里面充滿了氣，我們鉆到里面看，這就是一個球形的房子。

　　我們不妨假設這個球形的房子墻壁是用鋼做的，非常結實，沒有窗戶沒有門，我們在這樣的球形房子里。拿一個氣球來，帶到這個球形的房子里。隨便什么氣球都可以（其實對這個氣球是有要求的）。這個氣球并不是癟的，而是已經(jīng)吹成某一個形狀，什么形狀都可以（對形狀也有一定要求）。但是這個氣球，我們還可以繼續(xù)吹大它，而且假設氣球的皮特別結實，肯定不會被吹破。還要假設，這個氣球的皮是無限薄的。

　　好，接著我們繼續(xù)吹大這個氣球，一直吹。吹到最后會怎么樣呢？龐加萊先生猜想，吹到最后，一定是氣球表面和整個球形房子的墻壁表面緊緊地貼住，中間沒有縫隙。

　　我們還可以換一種方法想想：如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，那么我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點。另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當?shù)姆较虮簧炜s在一個輪胎面上，那么不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點的。我們說，蘋果表面是“單連通的”，而輪胎面不是。

　　看起來這是不是很容易想清楚？但數(shù)學可不是“隨便想想”就能證明一個猜想的，這需要嚴密的數(shù)學推理和邏輯推理。一個多世紀以來，無數(shù)的科學家為了證明它，絞盡腦汁甚至傾其一生還是無果而終。

　　大約在一百年以前，龐加萊已經(jīng)知道，二維球面本質(zhì)上可由單連通性來刻畫，他提出三維球面(四維空間中與原點有單位距離的點的全體)的對應問題。這個問題立即變得無比困難，從那時起，數(shù)學家們就在為此奮斗。

　　在2002年11月和2003年7月之間，俄羅斯的數(shù)學家格里戈里·佩雷爾曼在發(fā)表了三篇論文預印本，并聲稱證明了幾何化猜想。

　　在佩雷爾曼之后，先后有2組研究者發(fā)表論文補全佩雷爾曼給出的證明中缺少的細節(jié)。這包括密西根大學的布魯斯·克萊納和約翰·洛特；哥倫比亞大學的約翰·摩根和麻省理工學院的田剛。

　　2006年8月，第25屆國際數(shù)學家大會授予佩雷爾曼菲爾茲獎。數(shù)學界最終確認佩雷爾曼的證明解決了龐加萊猜想。

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