數(shù)學(xué)白癡的暴擊：世界十大數(shù)學(xué)難題

　　4、黎曼假設(shè)
　　黎曼猜想是關(guān)于黎曼ζ函數(shù)ζ(s)的零點(diǎn)分布的猜想，由數(shù)學(xué)家黎曼于1859年提出。希爾伯特在第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上提出了20世紀(jì)數(shù)學(xué)家應(yīng)當(dāng)努力解決的23個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，被認(rèn)為是20世紀(jì)數(shù)學(xué)的制高點(diǎn)，其中便包括黎曼假設(shè)?，F(xiàn)今克雷數(shù)學(xué)研究所懸賞的世界七大數(shù)學(xué)難題中也包括黎曼猜想。

　　與費(fèi)爾馬猜想時(shí)隔三個(gè)半世紀(jì)以上才被解決，哥德巴赫猜想歷經(jīng)兩個(gè)半世紀(jì)以上屹立不倒相比，黎曼猜想只有一個(gè)半世紀(jì)的紀(jì)錄還差得很遠(yuǎn)，但它在數(shù)學(xué)上的重要性要遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)這兩個(gè)大眾知名度更高的猜想。黎曼猜想是當(dāng)今數(shù)學(xué)界最重要的數(shù)學(xué)難題。目前有消息指尼日利亞教授奧派耶米伊諾克(OpeyemiEnoch)成功解決黎曼猜想，然而克雷數(shù)學(xué)研究所既不證實(shí)也不否認(rèn)伊諾克博士正式解決了這一問(wèn)題。

　　歷史上關(guān)于黎曼猜想被證實(shí)的鬧劇時(shí)常傳出，近日所謂黎曼猜想被尼日利亞籍教授證明的網(wǎng)文中并沒(méi)有說(shuō)明克雷數(shù)學(xué)研究所已經(jīng)承認(rèn)并授予獎(jiǎng)金，克雷數(shù)學(xué)研究所官網(wǎng)目前并無(wú)任何表態(tài)，而學(xué)界專業(yè)評(píng)價(jià)趨于消極。

　　猜想來(lái)源：
　　黎曼猜想是黎曼1859年提出的，1859年，黎曼被選為了柏林科學(xué)院的通信院士。作為對(duì)這一崇高榮譽(yù)的回報(bào)，他向柏林科學(xué)院提交了一篇題為“論小于給定數(shù)值的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)”的論文。這篇只有短短八頁(yè)的論文就是黎曼猜想的“誕生地”。

　　黎曼那篇論文所研究的是一個(gè)數(shù)學(xué)家們長(zhǎng)期以來(lái)就很感興趣的問(wèn)題，即素?cái)?shù)的分布。素?cái)?shù)又稱質(zhì)數(shù)。質(zhì)數(shù)是像2、5、19、137那樣除了1和自身以外不能被其他正整數(shù)整除的數(shù)。這些數(shù)在數(shù)論研究中有著極大的重要性，因?yàn)樗写笥?的正整數(shù)都可以表示成它們的乘積。從某種意義上講，它們?cè)跀?shù)論中的地位類似于物理世界中用以構(gòu)筑萬(wàn)物的原子。質(zhì)數(shù)的定義簡(jiǎn)單得可以在中學(xué)甚至小學(xué)課上進(jìn)行講授，但它們的分布卻奧妙得異乎尋常，數(shù)學(xué)家們付出了極大的心力，卻迄今仍未能徹底了解。

　　黎曼論文的一個(gè)重大的成果，就是發(fā)現(xiàn)了質(zhì)數(shù)分布的奧秘完全蘊(yùn)藏在一個(gè)特殊的函數(shù)之中，尤其是使那個(gè)函數(shù)取值為零的一系列特殊的點(diǎn)對(duì)質(zhì)數(shù)分布的細(xì)致規(guī)律有著決定性的影響。那個(gè)函數(shù)如今被稱為黎曼ζ函數(shù)，那一系列特殊的點(diǎn)則被稱為黎曼ζ函數(shù)的非平凡零點(diǎn)。

　　有意思的是，黎曼那篇文章的成果雖然重大，文字卻極為簡(jiǎn)練，甚至簡(jiǎn)練得有些過(guò)分，因?yàn)樗撕芏唷白C明從略”的地方。而要命的是，“證明從略”原本是應(yīng)該用來(lái)省略那些顯而易見的證明的，黎曼的論文卻并非如此，他那些“證明從略”的地方有些花費(fèi)了后世數(shù)學(xué)家們幾十年的努力才得以補(bǔ)全，有些甚至直到今天仍是空白。但黎曼的論文在為數(shù)不少的“證明從略”之外，卻引人注目地包含了一個(gè)他明確承認(rèn)了自己無(wú)法證明的命題，那個(gè)命題就是黎曼猜想。黎曼猜想自1859年“誕生”以來(lái)，已過(guò)了一百五十多個(gè)春秋，在這期間，它就像一座巍峨的山峰，吸引了無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家前去攀登，卻誰(shuí)也沒(méi)能登頂。

　　當(dāng)然，如果僅從時(shí)間上比較的話，黎曼猜想的這個(gè)紀(jì)錄跟費(fèi)爾馬猜想時(shí)隔三個(gè)半世紀(jì)以上才被解決，以及哥德巴赫猜想歷經(jīng)兩個(gè)半世紀(jì)以上屹立不倒相比，還差得很遠(yuǎn)。但黎曼猜想在數(shù)學(xué)上的重要性卻要遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)這兩個(gè)大眾知名度更高的猜想。有人統(tǒng)計(jì)過(guò)，在當(dāng)今數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中已有超過(guò)一千條數(shù)學(xué)命題以黎曼猜想(或其推廣形式)的成立為前提。如果黎曼猜想被證明，所有那些數(shù)學(xué)命題就全都可以榮升為定理；反之，如果黎曼猜想被否證，則那些數(shù)學(xué)命題中起碼有一部分將成為陪葬。一個(gè)數(shù)學(xué)猜想與為數(shù)如此眾多的數(shù)學(xué)命題有著密切關(guān)聯(lián)，這是極為罕有的。

　　黎曼猜想提出：
　　黎曼ζ函數(shù)的所有非平凡零點(diǎn)都位于復(fù)平面上Re(s)=1/2的直線上。也即方程ζ(s)=0的解的實(shí)部都是1/2。

　　在黎曼猜想的研究中，數(shù)學(xué)家們把復(fù)平面上Re(s)=1/2的直線稱為criticalline（臨界線）。運(yùn)用這一術(shù)語(yǔ)，黎曼猜想也可以表述為：黎曼ζ函數(shù)的所有非平凡零點(diǎn)都位于criticalline上。

　　猜想驗(yàn)證進(jìn)展：
　　荷蘭三位數(shù)學(xué)家J．vandeLune，H．J．Rielete及D．T．Winter利用電子計(jì)算機(jī)來(lái)檢驗(yàn)黎曼的假設(shè)，他們對(duì)最初的二億個(gè)齊打函數(shù)的零點(diǎn)檢驗(yàn)，證明黎曼的假設(shè)是對(duì)的，他們?cè)?981年宣布他們的結(jié)果，目前他們還繼續(xù)用電子計(jì)算機(jī)檢驗(yàn)底下的一些零點(diǎn)。

　　1982年11月蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家馬帝葉雪維奇在蘇聯(lián)雜志《Kibernetika》宣布，他利用電腦檢驗(yàn)一個(gè)與黎曼猜想有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以證明該問(wèn)題是正確的，從而反過(guò)來(lái)可以支持黎曼的猜想很可能是正確的。

　　1975年美國(guó)麻省理工學(xué)院的萊文森在他患癌癥去世前證明了No（T）>0.3474N（T）。

　　1980年中國(guó)數(shù)學(xué)家樓世拓、姚琦對(duì)萊文森的工作有一點(diǎn)改進(jìn)，他們證明了No（T）>0.35N（T）。

　　黎曼假設(shè)之否認(rèn)：
　　其實(shí)雖然因素?cái)?shù)分布而起，但是卻是一個(gè)歧途，因?yàn)閭嗡財(cái)?shù)及素?cái)?shù)的普遍公式告訴我們，素?cái)?shù)與偽素?cái)?shù)由它們的變量集決定的。具體參見偽素?cái)?shù)及素?cái)?shù)詞條。

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