世界上最難的數(shù)學(xué)題 世界十大數(shù)學(xué)難題

　　霍奇猜想

　　霍奇猜想是代數(shù)幾何的一個(gè)重大的懸而未決的問(wèn)題。由威廉·瓦倫斯·道格拉斯·霍奇提出，它是關(guān)于非奇異復(fù)代數(shù)簇的代數(shù)拓?fù)浜退啥x子簇的多項(xiàng)式方程所表述的幾何的關(guān)聯(lián)的猜想，屬于世界七大數(shù)學(xué)難題之一。

　　二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了研究復(fù)雜對(duì)象的形狀的強(qiáng)有力的辦法?；鞠敕ㄊ菃?wèn)在怎樣的程度上，我們可以把給定對(duì)象的形狀通過(guò)把維數(shù)不斷增加的簡(jiǎn)單幾何營(yíng)造塊粘合在一起來(lái)形成。

　　這種技巧是變得如此有用，使得它可以用許多不同的方式來(lái)推廣；最終導(dǎo)至一些強(qiáng)有力的工具，使數(shù)學(xué)家在對(duì)他們研究中所遇到的各種的對(duì)象進(jìn)行分類時(shí)取得巨大的進(jìn)展。不幸的是，在這一推廣中，程序的幾何出發(fā)點(diǎn)變得模糊起來(lái)。在某種意義下，必須加上某些沒(méi)有任何幾何解釋的部件。

　　霍奇猜想斷言，對(duì)于所謂射影代數(shù)簇這種特別完美的空間類型來(lái)說(shuō)，稱作霍奇閉鏈的部件實(shí)際上是稱作代數(shù)閉鏈的幾何部件的（有理線性）組合?？梢哉f(shuō)霍奇猜想集中體現(xiàn)了現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展中抽象特征在滾雪球般擴(kuò)大的趨勢(shì)。

　　霍奇猜想是代數(shù)幾何的一個(gè)重大的懸而未決的問(wèn)題。它是關(guān)于非奇異復(fù)代數(shù)簇的代數(shù)拓?fù)浜退啥x子簇的多項(xiàng)式方程所表述的幾何的關(guān)聯(lián)的猜想。它在霍奇的著述的一個(gè)結(jié)果中出現(xiàn)，他在1930至1940年間通過(guò)包含額外的結(jié)構(gòu)豐富了德拉姆上同調(diào)的表述，這種結(jié)構(gòu)出現(xiàn)于代數(shù)簇的情況（但不僅限于這種情況）。

　　對(duì)于（1，1）類的霍奇猜想已經(jīng)在霍奇本人提出本猜想前的1924年由Lefschetz證明。換句話說(shuō)，霍奇猜想對(duì)于H＾2成立。實(shí)際上，這是霍奇提出其猜想的動(dòng)機(jī)之一。除此以外，還成立以下定理：如果霍奇猜想對(duì)于度數(shù)p的霍奇類成立，其中p＜n，n是上述射影代數(shù)簇的維數(shù)，那么對(duì)于度數(shù)為2n－p的霍奇類，霍奇猜想也成立。

　　如今，霍奇猜想名列21世紀(jì)七大數(shù)學(xué)難題之一。2000年5月，美國(guó)的克萊數(shù)學(xué)研究所為每道題懸賞百萬(wàn)美元求解。目前，這一難題仍沒(méi)有被破解，但可以預(yù)見(jiàn)的是，與阿蒂亞－辛格指標(biāo)定理一樣，霍奇猜想的解決將在數(shù)學(xué)三大分支即分析、拓?fù)?、代?shù)幾何之間找到某種基本的內(nèi)在聯(lián)系。

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